设A,B分别是n,m阶实对称矩阵,且B是正定矩阵。证明,存在m*n非零矩阵H,使B-HAH'成为正定矩阵。

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查看11 | 回复1 | 2011-1-1 08:26:11 | 显示全部楼层 |阅读模式
证明B是m阶实对称矩阵,则B特征值均为正式实数,且对任意m维向量x,0m,设H=[cI,O],其中I是m阶单位矩阵,O是m×(n-m)阶零矩阵,c是常数,则B-HAH'= B-c^2A1,其中A1是A的前m列前m行的m阶子式,A1也是实对称矩阵,则对任意m维向量x,0am/b1,则x'(B- HAH')x=x'Bx- x'HAH'x= x'Bx-c^2 x'A1x> b1x'x-(b1/am)×am x'x>0,故B-HAH'成为正定矩阵.如果m>n,类似证明.
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