是不是周期函数的傅里叶级数的和函数也是周期函数？

显示全部楼层 · 2008-9-29 15:56:10

f(x)满足狄利克雷收敛条件，它的傅里叶级数的和函数是g（x），当0<x<π ，f（x）=x,当 -π<x<0 ，f（x）=x+2π，f（x）的周期是2π
计算得，f(x)的傅里叶级数中a0=2π ，an=0
收敛定理得出的f(x)的傅里叶级数的和函数g（x）为：
当0<x<π ，g（x）=x,当 -π<x<0 f（x）=x+2π，当 x=0，g（x）=π
问题是：（1）如何证出g（x）也是周期函数？

（2）是不是周期函数的傅里叶级数的和函数也是周期函数？
请写出两个问题的具体证明步骤

千问 · 2008-9-29 15:56:10

（1）g(x)=a0+Sum(bn*sin(n*x))g(x+2π)=a0+Sum(bn*sin(n*(x+2π)))=a0+Sum(bn*sin(nx+2nπ))=a0+Sum(bn*sin(nx))=g(x)故g(x)是周期函数（2）是的设g(x)=a0+Sum(bn*sin(n*w*x))+Sum(an*cos(n*w*x))其中w=2*π/T,即w*T=2π则g(x+T)=a0+Sum(bn*sin(n*w*(x+T))+Sum(an*cos(n*w*(x+T))=a0+Sum(bn*sin(nwx+nwT))+Sum(an*cos(nwx+nwT))=a0+Sum(bn*sin(...

千问 · 2008-9-29 15:56:10

(1)用定义就行，g的表达式不是一串sin cos的和么？sin cos不都有周期性么？(2)是的...