求证三角形垂心的定理

显示全部楼层 · 2011-7-22 18:04:24

今天奥数辅导时候遇到的，老师一带而过。
三角形的垂心把三角形分成四个等外接圆的三角形，这个定理怎么证？
详细说就是，三条高（这里只是从一顶点到垂心，不用延长到该点的对边，方便你们画图。。。）把原来的大三角形分成3个小三角形，每个三角形和原来大的三角形的外接圆一样大，就是半径一样。

千问 · 2011-7-22 18:04:24

用高中解析几何证明，知识点有正弦定理和三角函数。正弦定理：△ABC的三个顶点A、B、C所对边分别为a、b、c，则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，R是△ABC的外接圆的半径.证明：设从△ABC三个顶点A、B、C向所对边作垂线，垂足分别为F、D、E；三条高线交于一点，即垂心，设为H；由相似直角三角形的知识易知：Rt△CHF∽Rt△CBE，则由对顶角相等，可知：∠CHF=∠CBA=∠AHE；同理：∠BHF=∠BCA=∠AHD、∠CHD=∠CAB=∠BHF；则∠CHB=∠CHF+∠BHF=∠CBA+∠BCA=180°-∠CAB，则sin∠CHB=sin(180°-∠CAB)=sin∠CAB，则...

千问 · 2011-7-22 18:04:24

答案见图片...