计算∫∫∫xyzdxdydz，其中 ∏x^2+y^2+z^2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域

显示全部楼层 · 2017-5-21 20:44:26

计算Ω∫∫∫xyzdxdydz，其中 Ω：x2+y2+z2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域解：积分域Ω是一个球心在原点，半径为1的球在第一挂限内的部分，用球坐标计算比较方便。(0≦θ≦π/2，0≦φ≦π/2，0≦r≦1).Ω∫∫∫xyzdxdydz=Ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r2sinφdrdθdφ=Ω∫∫∫[(r^5)sin3φcosφsinθcosθdrdθdφ=[0，1]∫(r^5)dr[0，π/2]∫sin3φd(sinφ)[0，π/2]∫sinθd(sinθ)={[(r^6)/6]︱[0，1]}{[(1/4...

千问 · 2017-5-21 20:44:26

首先做出图形，即第一卦限中的四分之一球。若采用球面坐标，r是原点到积分边界的范围，r的最大值由边界曲面确定（将x.y.z的参数形式带入解析式，可得r=λ〈λ为常数或θ与φ的函数〉，即最大值。） φ是积分区域边界曲面上向径与Z轴正向的夹角的范围(可取到0～π)。把积分区域向xoy平面做投影，Θ是所得平面区域边界曲线上点的向径与X轴正向夹角的取值范围（最大取...

千问 · 2017-5-21 20:44:26

采用球面坐标0≤θ≤∏/20≤φ≤∏/20≤r≤1...