证明：分两步。一、 证明对任意的x∈(a,b),x＞x0,都有 φ（x）＞φ（x0）对任意的x∈(a,b),x＜x0,都有 φ（x）＜φ（x0）。因为两种情况的证明是类似的，所以我们仅就x∈(a,b),x＜x0的情况证明它。由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（x,x0）,使得〔f(x0)-f(x)〕/(x0-x)=f′(ξ)因为ξ＜x0，且f′(x)单调增，所以有f′(ξ) ＜f′(x0)。二、 证明对任意的x1,x2∈(a,b), x1≠x0,x2≠x0,x1＜x2,都有φ（x1）＜φ（x2）。为了叙述方便，在下面我们假设x0＜x1＜x2同样由拉格朗日中值定理，存在λ∈（x0,x1）,使得φ（x1）=〔f(x1)-f(x0)〕/(x1-x0)=f′(λ)从而f(x1)-f(x0)= (x1-x0)f′(λ)同样存在μ∈（x1,x2），使得〔f(x2)-f(x1)〕/(x2-x1)=f′(μ)因为μ＞λ，且f′(x)单调增，所以有f′(μ) ＞f′(λ)。从而f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f′(μ) ＞(x2-x1)f′(λ)所以φ（x2）=〔f(x2)-f(x0)〕/(x2-x0)=〔f(x2)-f(x1)+f(x1)-f(x0)〕/(x2-x0)＞〔(x2-x1)f′(λ)+ (x1-x0)f′(λ) 〕/(x2-x0)=（x2-x1+ x1-x0）f′(λ)/ (x2-x0)=(x2-x0) f′(λ)/ (x2-x0)= f′(λ)=φ（x1）综合这两步，我们就证明了整个结论。
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