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设n阶方阵A的伴随矩阵为A,证明:(1)若|A|=0,则|A|=0;

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1 | 2010-4-2 16:08:59 | 显示全部楼层 |阅读模式

(1)证：如果r(A)<n-1，A的所有n-1阶子式行列式都为0由伴随阵的定义，A*=0∴|A*|=0如果r(A)=n-1A(A*)=|A|E=0A*的列向量为Ax=0的解，根据线性方程组理论r(A)+r(A*)≤n∴r(A*)≤1∴|A*|=0结论得证！(2)如果|A|=0，利用(1)的结论，|A*|=0∴|A*|=|A|^(n-1)如果|A|≠0，∵A(A*)=|A|E∴|A(A*)|=||A|E|【注意|A|是常数，计算行列式提出来就是|A|^n】即：|A||A*|=|A|^n∴|A*|=|A|^(n-1)

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