a,b为实数，求a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值

显示全部楼层 · 2010-4-4 20:15:37

解：a^2+b^2+(2a-3b+4)^2=5a2+10b2+16a-24b-12ab+16=(a+8)2+(b-12)2+(2a-3b)2-192由此可知a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值为-192 睡了一觉醒来，意识到上面的解答有误。打开电脑，发现已由学兄“183685775”指了出来。说得非常正确。下面我试着给出一个新的尝试。设b=xa,则有a^2+b^2+(2a-3b+4)^2=a2+x2a2+(2a-3xa+4)2=a2+x2a2+[(2-3x)a+4)]2=a2+x2a2+(2-3x)2a2+8(2-3x)a+16=[x2+1+(2-3x)2]a2+8(2-3x)a+16=(10x2-12x+5)a2+8(2-3x)a+16=k+16下面我们来求k的最小值。k=(10x2-12x+5)[a2+8(2-3x)a/(10x2-12x+5)]=(10x2-12x+5){[a+4(2-3x)/(10x2-12x+5)]2-[4(2-3x)/(10x2-12x+5)]2}=(10x2-12x+5)[a+4(2-3x)/(10x2-12x+5)]2-(8-12x)2/(10x2-12x+5)由于若x取定后，可取a=-4(2-3x)/(10x2-12x+5)。从而k的最小值为-(8-12x)2/(10x2-12x+5)下面我们来求出(8-12x)2/(10x2-12x+5)的最大值。令m=(8-12x)2/(10x2-12x+5),则有m(10x2-12x+5)=(8-12x)2整理得(10m-144)x2+(192-12m)x+5m-64=0由于上面的方程必有解，所以应有△=(192-12m)2-4(10m-144)（5m-64）≥0整理得-56m2+832m≥0即56m2-832m≤0（56m-832)m≤0解得0≤m≤832/56即（8-12x)2/(10x2-12x+5)≤832/56从而-(8-12x)2/(10x2-12x+5)≥-832/56从而k的最小值为-832/56于是k+16的最小值为16-832/56=（896-832）/56=64/56=8/7对学兄“mmclvcha”的解法，我有一个粗浅的想法。因为若前三项的和不为零是时，即x≠26/7时，我们让x取别的值，此时，虽然前三项的和大于零，变大了，但最后的项-14x^2+104x-192的值可能会变小。所以虽然学兄“mmclvcha”的结果8/7，目前来看，显然是对的。但过程中大概还缺了一部分证明。所以，应该说“mmclvcha”的解法是不太完全的。不知各位师兄学长能否明白我所表达的内容。也请各位师兄学长审核我更正后的解法的正确性。虽然过程较繁，但我感觉思路还是清楚的。

千问 · 2010-4-4 20:15:37

可以将这个式子看做是个二元函数的表达式，即令F(a，b)=a^2+b^2+(2a-3b+4)^2根据一元函数求导求极点的思路，对这个二元函数进行求导，不过是求偏导数。对a求偏导数得Fa=10a-12b+16（把b当作常数）对b求偏导数得Fb=20b-12a-24（把a当作常数）令Fa=0，Fb=0，则可以求出a=-4/7，b=6/7。因为只有一组解，所以点（-4/7，6/7）是函数F(a，b)最大值的解，因此原式的最大值是8/7。楼上的最小值是不正确的，因为当三个平方都为0时，a，b无解，即无法三个平方都成立。当然，个人做的只是其中一种方法，就让其他高手们来帮你做出更简单的解法吧！参考资料：http://baike.baidu.com/view/1029405.htm

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千问 · 2010-4-4 20:15:37

a^2+b^2+(2a-3b+4)^2=a^2+b^2+[(2a-3b+x)+(4-x)]^2=a^2+b^2+(2a-3b+x)^2+2(4-x)(2a-3b+x)+(4-x)^2=a^2+2(8-2x)a+b^-2(12-3x)b+(2a-3b+x)^2+16-x^2=(a+8-2x)^2+(b-12+3x)^2+(2a-3b+x)^2-14x^2+104x-192当a+8-2x=0,b-12+3x=0,2a-3b+x=0时，原式取最小值-14x^2+104x-192解方程得x=26/7,a=-4/7,b=6/7原式=(a+4/7)^2+(b-6/7)+(2a-3b+26/7)^2+8/7最小值=8/7