已知:D是三角形ABC的边BC外面一点

显示全部楼层 · 2010-4-6 22:16:07

这是一个数学诡辩题D是△ABC中，∠A的平分线和BC边的垂直平分线的交点如果D在三角形的外部，不能证明AB=AC但D如果在△ABC的内部，可以证明AB=AC

千问 · 2010-4-6 22:16:07

相等设DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∵DB=DC∴∠CBD=∠BCD∵∠BED=∠CFD=90°，DB=DC,DE=DF∴Rt△BDE≌Rt△CDF∴∠ABD=∠ACD，又由于∠CBD=∠BCD∴∠ABD-∠CBD=∠ACD-∠BCD即∠ABC=∠ACB∴AB=AC

千问 · 2010-4-6 22:16:07

AB与AC不一定相等。D与△ABC的位置关系有且只有三种情况。1、点D在△ABC内；2、点D在△ABC外，且BD⊥AB；3、点D在△ABC外，且BD不垂直于AB。现分别证明：1、由题意知AD是∠BAC的角平分线，在△ABD和△ACD中，∠ADB＞90°，∠ADC＞90°，∠BAD=∠BCD,AD=AD,BD=CD,所以△ABD≌△ACD,所以AB=AC。2、在Rt△ABD和Rt△ACD中，DB=DC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD，所以AB=AC。3、AD是∠BAC的角平分线，在△ABD和△ACD中，若∠ADB＞90°，∠ADC＞90°，则由∠BAD=∠BCD,AD=AD,BD=CD,可得△ABD≌△ACD,所以AB=AC。若∠ADB＞90°，∠ADC＜90°或∠ADB＜90°，∠ADC＞90°，虽有∠BAD=∠BCD,AD=AD, BD=CD,但也得不出△ABD≌△ACD的结论,所以AB≠AC。这种情况还有一种类型，在△ABD和△ACD中，若∠ADB＜90°，∠ADC＜90°，则由∠BAD=∠BCD,AD=AD, BD=CD,可得△ABD≌△ACD,所以AB=AC。若∠ADB和∠ADC中，一个小于90°，另一个大于90°，虽有∠BAD=∠BCD,AD=AD, BD=CD,但也得不出△ABD≌△ACD的结论,所以AB≠AC。仅供参考。