一道数学三角函数与等差数列的题

显示全部楼层 · 2010-4-16 13:08:18

解：∵不等边△ABC的内角A、B、C成等差，公差为θ∴2B=A+C∵A+B+C=3B=180°∴B=60°∵A+C=120°，C-A=2θ∴C=60°+θ，A=60°-θ∵1／Sin2A、1／Sin2B、1／Sin2C也成等差∴2／Sin2B=1／Sin2A+1／Sin2C4/√3=1/Sin(120°-2θ)+1/Sin(120°+2θ)4/√3=1/Sin(60°+2θ)+1/Sin(60°-2θ)4/√3=[Sin(60°+2θ)+Sin(60°-2θ)]/[Sin(60°+2θ)Sin(60°-2θ)] 【1】∵Sin(60°+2θ)Sin(60°-2θ)=-[Cos120°-Cos4θ]/2=(2Cos4θ+1)/4【2】而：Sin(60°+2θ)+Sin(60°-2θ)=Sin60°Cos2θ+Cos60°Sin2θ+Sin60°Cos2θ-Cos60°Sin2θ=√3Cos2θ 【3】将【2】、【3】式代入【1】式，得：4/√3=√3Cos2θ/[(2Cos4θ+1)/4]2Cos4θ+1=3Cos2θ4(Cos2θ)^2-3Cos2θ-1=0(4Cos2θ+1)(Cos2θ-1)=0∴Cos2θ=-1/4 或者 Cos2θ=12(Cosθ)^2-1=-1/4 或者 2(Cosθ)^2-1=1∴Cosθ=±√6/4 或者 Cosθ=±1∵负值使得θ不符合△ABC的内角A、B、C成等差，公差为θ的要求，舍去由Cosθ=1知：θ=arcCos(1)=0°，不符合不等边△ABC的要求，也舍去arcCos(√6/4)=52.238756......°，符合题意∴Cosθ=√6/4

千问 · 2010-4-16 13:08:18

千问 · 2010-4-16 13:08:18

2B=A+CA+B+C=3B=2πB=π/3设A<B<C则sinA=sin(π/3-θ)sinC=sin（π/3+θ）sin2A=sin（2π/3-2θ）=√3cos2θ/2-sin2θ/2sin2C=sin（2π/3+2θ）=√3cos2θ/2+sin2θ/2设sin2A=x，sin2C=y.则x+y=√3sin2θx*y=3cos22θ/4-sin22θ/42/sinB=1/x+1/y=（x+y）/xy=4√3cos2θ/（3cos22θ-sin22θ）=4√3/3得3cos2θ=3cos22θ-sin22θ4cos22θ-3cos2θ-1=0（cos2θ-1）（4cos2θ+1）=0cos2θ=1或cos2θ=-1/4因为θ∈（0,π/3），cosθ∈（1/2，1）则cosθ=0（舍去）或cosθ=±√6/4（负值舍去）所以cosθ=√6/4