求函数 y= 根号(x^2+9)+ 根号(x^2-8x+41) 的最小值

显示全部楼层 · 2015-6-7 13:04:57

数学上函数y=f(x)的定义域为A，如果存在实数m满足：①对于任意实数x∈A，都有f(x)≥m，②存在x0∈A,使得f (x0)=m，那么我们称实数m是函数y=f(x)的最小值；如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈A，都有f(x)≤M，②存在x0∈A，使得f (x0)=M，那么我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。　　本题对函数y=√(x^2+9)+ √(x^2-8x+41)　　y=√((x-0)^2+(0-3)^2)+ √((x-4)^2+(0+5)^2)　　设P(x,0),C(0,3),D(4,-5)　　则y就是x轴上的动点P到上半平面的定点C和下半平面的定点D的距离之和　　当C、P、D共线时y最小　　直线CD的方程是：2x+y-3=0　　它与x轴的交点是(3/2,0)　　得当P在(3/2,0)处，即x=3/2时，y取到最小值|CD|　　而|CD|=4√5　　所以y的最小值是4√5

千问 · 2015-6-7 13:04:57

又发现一个方法，这个方法根据是不等式根号（a^2+b^2)+根号(c^2+d^2)>=根号(（a+c）^2+(b+d)^2)所以y>=根号（4^2+(3+5)^2)=4根号5;在x=1.5时取得最小值。下面是昨天做的方法。//好难啊，不等式都忘光了，只能构造图形来求了。我算的最小值由x=1.5得到,由于计算出y是无理数，就不写y了。证明如下：y=根号(x^2+9)+根号(4-x)^2+25;构造两个直角三角形，直角三角形ABC，直角边AB=3;AC=x;直角三角形A'B'C，直角边A'B'=5,A'C=(4-x);其中两个三角形共顶点C，并且两个角C是对顶角，那么很明显，y=BC+CB';并且AA'=x+4-x=4是固定长度；问题转化为在AA'中选一点C，使得B经过C点到B'距离最短，很明显连接BB'的直线最短，所以变成求解三角形了。由三角函数知识，3/tanC+5/tanC=4=>tanC=2;=>x=AC=3/tanC=1.5;所以x=1.5时取得最小值。

千问 · 2015-6-7 13:04:57

解：因为y=(x-0)2+(0-3)2+(x-4)2+(0-5)2，所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，5）距离之和．y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值．由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A′（0，-3），则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|，即(4-0)2+(5+3)2=45．所以ymin=45．