级数收敛

显示全部楼层 · 2010-5-9 11:34:24

设有两个数列{an},{bn},若n->∞,则an->o,则下列4个选项正确的是哪一个，请分别说明其正确或错误的理由。
1、当级数∑bn收敛时，级数∑an*bn收敛
2、当级数∑bn发散时，级数∑an*bn发散
3、当级数∑|bn|收敛时，级数∑an2*bn2收敛
4、当级数∑|bn|发散时，级数∑an2*bn2发散

千问 · 2010-5-9 11:34:24

1错。反例：a(n)=b(n)=(-1)^n/n^(1/2)，由Leibnitz判别法知∑b(n)收敛，但∑a(n)*b(n)=∑1/n发散2错。反例：a(n)=b(n)=1/n，则∑b(n)发散但∑a(n)*b(n)=∑1/n^2收敛3对。a(n)^2*b(n)^2=a(n)^2*|b(n)|^2=[a(n)^2*|b(n)|]*|b(n)|，中括号内的项为正数且趋于零，所以有界，所以由∑|b(n)|收敛可知∑a(n)^2*b(n)^2收敛4错。反例：a(n)=b(n)=1/n，则∑|b(n)|发散但∑a(n)^2*b(n)^2=∑1/n^4收敛