问问一道数学竞赛题

显示全部楼层 · 2010-5-15 14:54:04

高中数学联赛培优教程（一试）57页第13题:设f：R→R，且在R上严格单调，并且对任何x属于R都满足f(x)+f-1(x)=2x,其中f-1(x)是f（x）的反函数，求f（x）。。。
求帮助啊~答案看不懂
不对啊，答案是 f(x)=x+c..(c为常数)
到底该怎么做啊！！

千问 · 2010-5-15 14:54:04

事实上，先由x=0点代入，得到：f(0)+f-1(0)=0∴设f(0)=c,f-1(0)=-c∴由归纳法证明：x=kc时，f(x)=x+c，k∈Z具体过程如下：当k=0时显然成立，若k=n时成立，下证k=n+1时成立，k=n-1时成立∵f(nc)+f-1(nc)=2nc∴代入f(nc)=nc+c，那么：f-1(nc)=(n-1)c∴f[(n-1)c]=nc，即k=n-1时成立∵f[(n+1)c]+f-1[(n+1)c]=2(n+1)c∵f(nc)=nc+c∴f-1[(n+1)c]=nc，代入上式∴f[(n+1)c]=(n+2)c由上从0开始向x0两边归纳就可以得到：当x=kc时，f(x)

千问 · 2010-5-15 14:54:04

由f在R上严格单调设f（x）=ax+b解之得f-1(x)=[f（x）-b]/a而f(x)+f-1(x)=(ax+b)+[f（x）-b]/a=(ax+b)+[(ax+b)-b]/a=(a+1)x+b又因为f(x)+f-1(x)=2x所以(a+1)x+b=2x比较方程两边一次项系数和常数项系数得a+1=2,b=0故f（x）=x