已知x,y属于正实数，且x+y>2.求证：(1+y)/x和(1+x)/y中至少有一个小于2

显示全部楼层 · 2010-11-24 22:49:41

用反证法如若不然，两个式子都大于等于2，即(1+y)/x>=2(1+x)/y>=2即1+y>=2x1+x>=2y两式相加有2+(x+y)>=2(x+y)有x+y2矛盾故(1+y)/x和(1+x)/y中至少有一个小于2

千问 · 2010-11-24 22:49:41

x＋y＝1(1+1/x)(1+1/y)=1+1/x+1/y+1/xy
=1+(x＋y)/x+(x＋y)/y+(x＋y)/xy
=1+(x＋y)/x+(x＋y)/y+1/x+1/y
=1+2(x＋y)/x+2(x＋y)/y
=1+2+2+2(x/y+y/x)>=5+2*2=9

千问 · 2010-11-24 22:49:41

用反证法若(1+y)/x>2,(1+x)/y>2→1+y>2x,1+x>2y→2+x+y>2x+2y→x+y2矛盾