有界线性算子？

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0 | 2021-1-13 03:05:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

有界线性算子？
泛函分析中一种重要的算子。
算子(映射)有线性和非线性之分．线性算子又分为有界和无界两类，有界线性算子是线性赋范空问的基本概念。
中文名，有界线性算子
外文名，bounded linear operator
所属领域，数理科学
反义词，无界线性算子
相关概念
有界线性算子范数
与Ⅳ中向量类似．函数和数列范数同样是各自所在线性赋范空间的重要度量，它度量了抽象空间中向量的某种“能力”和“强度”，如峰值、能量、绝对均值等。有界线性算子集合也可以构成自己的线性赋范空间。有界线性算子也有范数，可度量和描述有界线性算子的某种映射“功能”“作用”或“过程”等。也就是需要用非负的实数以最简明的方式来度量和描述线性算子“功能”。范数不但是重要的数学概念，也是工程技术领域中普遍应用的概念和思维方式。
相关定理
定理1 设X和Y是同一数域K上的两个线性赋范空间，D是X中一线性子
空间，T：D→Y为线性算子，那么
(1)T有界的充要条件是存在正常数μ，使得T（x）的绝对值≤μ(x)的绝对值，并且x∈D。
(2)T在D上连续的充要条件是T在D的某一点X0上连续;
(3)T为有界算子的充要条件是T(x)为连续算子．
定理2 设X和Y是同一数域K上的两个线性赋范空间，D是X中一线性子空间，T：D→Y为线性算子，那么。。。
等价形式
设T：X-Y是从线性赋范空间X到Y的线性算子。则下面命题等价：
1、T是有界线性算子。
2、T是连续线性算子。
3、存在x0∈X，T在x＝x0处连续。
4、存在M＞0，使得T（x)的绝对值≤M(x)的绝对值。
参考资料：
[1]曹怀信主编．泛函分析引论．陕西师范大学出版总社有限公司．2014.07
[2]宋克欧，姚鸿勋．工程技术中的现代数学．哈尔滨工业大学出版社．2014.01
[3]程代展，赵寅．系统与控制中的近代数学基础第2版．清华大学出版社．2014.05

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