∫√(2x-x²)dx以及∫√(4x-x²)dx的解答方法，请高手赐教

显示全部楼层 · 2009-6-30 00:51:06

两个积分的做法是一样的，分部积分。也可先进行三角换元，但是还得分部积分∫√(2x－x^2)dx＝∫√(1－(x-1)^2)d(x-1)，换元t＝x－1，则∫√(2x－x^2)dx＝∫√(1－t^2)dt第二个积分∫√(4x－x^2)dx可化成∫√(4－t^2)dt的形式以∫√(2x－x^2)dx＝∫√(1－t^2)dt为例∫√(1－t^2)dt＝t×√(1－t^2)＋∫t^2/√(1－t^2)dt＝t×√(1－t^2)＋∫(t^2－1＋1)/√(1－t^2)dt＝t×√(1－t^2)＋∫1/√(1－t^2)dt－∫√(1－t^2)dt＝t×√(1－t^2)＋arcsint－∫√(1－t^2)dt所以，∫√(2x－x^2)dx＝∫√(1－t^2)dt＝1/2×t×√(1－t^2)＋1/2×arcsint＋C＝1/2×(x-1)×√(2x-x^2)＋1/2×arcsin(x-1)＋C

千问 · 2009-6-30 00:51:06

用定义法，把根号下2X-X^2=Y两边平方，得出一个圆，再数形结合，保证2X-X^2大于零，求这个不完整圆的面积，答案刚好是π。