若abc是正数，且abc=1，证明ab（a+b）+bc（b+c）+ac（a+c）≥6

显示全部楼层 · 2010-5-23 10:21:48

由(a-b)^2>0可得：a^2-2ab+b^2>=0推出：a^2+b^2>=2ab同理：a^2+c^2>=2ac
c^2+b^2>=2cb所以：ab（a+b）+bc（b+c）+ac（a+c）≥6推出：a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(b^2+a^2)≥6abc=6证得：ab（a+b）+bc（b+c）+ac（a+c）≥6

千问 · 2010-5-23 10:21:48

原命题a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a+c^2b>=6下面证明a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a+c^2b>=6abc左-右=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2>=0证毕也可左边直接用AM6-GM6均值不等式