高三数学challenging math problem

显示全部楼层 · 2010-12-8 18:19:50

let f(x) =ax -lnx(x>o)在x=x(0)处取得最小值2
(1)求a 和x(0)的值
(2)设x1，x2是任意正数，证明:
f(x1)+f(X2)>=2f［(x1+x2)/2］
当且仅当X1=X2时，等号成立。

千问 · 2010-12-8 18:19:50

对于这个题，最好的方法就是数形结合，你画Y=AX,Y=LNX的图，FX实际上表示它们之间再竖方向上的距离，根据情况，你可以判定出A是正数。因为X不能等于0，实际上是求右极限等于2.于是得到关系式，LIM X+ 0(AX-LNX)=2,解得A=E. 第二问还是根据数新结合，它实际上要证它是各向下凸的函数，就是俩端点的平均值高于中间值的俩倍，这本来可以用高等数学轻易解答的，因为是高三的，就用做差法就可以了。AX1-LNX1+AX2-LNX2-2A(X1+X2)/2+2LN(X1+X2)/2=-(LNX1+LNX2)+2LN(X1+X2)/2=-LNX1X2+LN(X1+X2)^2/2=LN(X1+X2)^2/2X1X2>LN1=0.