已知直线l:Ax+By+C=0,向量n=(A,B),求证:向量n垂直于l

显示全部楼层 · 2010-5-25 22:58:28

若B不等于0,则直线斜率=-A/B，即直线的方向向量为（1，-A/B),而（1，-A/B)(A,B)=A-A=0,即n垂直于l,若B=0，则直线垂直于x轴，直线的方向向量为(0,1),n=(A,0)(0,1)(A,0)=0,所以n垂直于l其实无论B是否为0，l的方向向量均为（B，-A）

千问 · 2010-5-25 22:58:28

直线l的方向向量为：m=（1，-A/B）——方向向量就是与直线方向相同的向量。n·m=0所以，直线和向量n垂直

千问 · 2010-5-25 22:58:28

证明：设直线l:Ax+By+C=0，与坐标轴交点为E(-C/A,0)，F(0,-C/B)则向量EF=(C/A,-C/B)又向量n=(A,B)，则向量n?向量EF=C-C=0∴向量n⊥向量EF，即直线l垂直于向量n。

千问 · 2010-5-25 22:58:28

可将l变成截距式即想Y=-(Ax+C)/B所以l的方向向量为m=（1,-A/B），而m*n=-1固垂直。