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设n为自然数，求证1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n)>4n/(4n+1)

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查看11 | 回复1 | 2010-6-16 17:07:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
设n为自然数，求证1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n)>4n/(4n+1)
用柯西不等式证明

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千问 | 2010-6-16 17:07:23 | 显示全部楼层
证明：由柯西不等式：[(n+1)+(n+2)+...+(3n)][1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(3n)]>(1+1+...+1)^2=(2n)^2{注，一共有2n个1,而且等号显然不成立}而由等差数列求和公式有：(n+1)+(n+2)+...+(3n)=n(4n+1)于是1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(3n)>(4n^2)/[n(4n+1)]=4n/(4n+1)证毕。
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