数学中关于圆和概率的悖论

显示全部楼层 · 2010-6-8 12:45:16

有3个概率问题：1、在圆上任取两个点连接起来构成弦，弦长大于该圆内接正三角形边长的概率是多少？
2、在圆的任意一条直径上取一点做垂线，垂线与圆相交构成的弦长度大于该圆内接正三角形边长的概率是多少？
3、在圆内任取一点，以它为中点所作的弦的长度大于该圆内接正三角形边长的概率是多少？
请感兴趣的人们来探讨一下！

千问 · 2010-6-8 12:45:16

先预约下，中午再做！！这不是一个悖论，虽然都是弦长大于内接正三角形边长，但不同的产生过程造成了不同的概率值！！（1）在圆上任取两个点连接起来构成弦，弦长大于该圆内接正三角形边长的概率先任取一个点A，另一点B等可能的分布在整个圆周上，而为使弦长大于该圆内接正三角形边长，只需取在图1所示位置，所以概率=1/3（2）在圆的任意一条直径上取一点做垂线，垂线与圆相交构成的弦长度大于该圆内接正三角形边长的概率先任作条直径，再在其上任取一点A，取这条直径上哪一点是等可能的，为使垂线与圆相交构成的弦长度大于该圆内接正三角

千问 · 2010-6-8 12:45:16

1.设圆心为O一个点A已经确定后，考虑另一个点B设夹角为角AOB，显然当 120<角AOB<180时条件成立所以概率为(180-120)/180=1/32.设圆心为O，半径为r考虑取的点A易得0<OA<r简单计算得到r/2<OA<r时条件成立所以概率为(r-r/2)/r=1/23.和1等价所以概率为(r-