一道扰人的数学题目

显示全部楼层 · 2010-12-11 20:10:42

x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求2/x＋1/y的最小值。答案是原式乘以（x＋y），之后结果就很好做。但是我就是不懂为什么不可以用2/x＋1/y≥2根号下2/xy的成立条件2/x＝1/y，之后用这个和x+y＝1来解出x和y的值再代回去求结果，请高手详细解说下，谢谢（我的资料书就说这个解法是误用等式成立的条件），谢谢！！
四楼的，首先谢谢你热心解答。其次，2/x，1/y在我解法中值都为3，满足你所说的一切条件，为什么不对？对不起啊，我脑拙…

千问 · 2010-12-11 20:10:42

那句话好像是“和定积最大，积定和最小”两个数的和确定的时候，两数之积能取到最大值，两个数的积确定的时候，两数之和能取到最小值你解法的那两个数的积不确定。只有在2/x*1/y是定值的时候才能用你的公式

千问 · 2010-12-11 20:10:42

是这样的，首先你说的a+b>=2的根号下ab成立条件是a=b，这都没有错，但是你要知道用这个公式的条件，条件是a,b>=0，而在你的这道题中，由于有x+y=1的限制，2/x和1/y均不在满足前面的条件，2/x>2
1/y>1

千问 · 2010-12-11 20:10:42

自己想呗

千问 · 2010-12-11 20:10:42

解：因x+y=1且x,y>0,故由均值不等式可知，(2/x)+(1/y)=(x+y)[(2/x)+(1/y)]=2+(x/y)+(2y/x)+1=3+(x/y)+(2y/x)≥3+2√2,等号仅当x=2-√2,y=√2-1时取得，故（2/x+1/y)min=3+2√2.