求解一道高数题，求由摆线x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2∏) 与横轴所围图形的面积要过程

显示全部楼层 · 2019-5-28 11:53:36

由摆线x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2π) 与横轴所围图形的面积为3π*a^2。解：根据定积分求面积公式，以x为积分变量，可得摆线的一拱与横轴所围图形的面积S为，S=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))=∫a^2(1 -cost)^2dt又由于摆线的一拱内，0≤t≤2π，所以面积为，S=∫(0,2π)a^2*(1 -cost)^2dt=a^2*∫(0,2π)(1-2cost+(cost)^2)dt=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+a^2*∫(0,2π)(cost)^2dt=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)c

千问 · 2019-5-28 11:53:36

楼上的思路基本正确，积分时要将y,x转换为用t表示的函数。我补充一下过程吧：S=∫|y|dx=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）又∵x=a(t-sint) ∴dx=a(1-cost)dtS=∫(0,2π) a2(1-cost)2dt=a2∫(0,2π)

千问 · 2019-5-28 11:53:36

面积=∫ydx，积分区间对应与0≤t≤2∏时x的范围即x从0到2πa（这个积分区间没用），然后将x=a(t - sint),y=a(1 -cost)代入，面积=∫a(1 -cost)da(t - sint)，t的范围从0到2π，展开积分即可，最后结果3πa的平方。

求解一道高数题 ，求由摆线x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2∏) 与横轴所围图形的面积 要过程

求解一道高数题，求由摆线x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2∏) 与横轴所围图形的面积要过程