P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上且位于第一象限的一点

显示全部楼层 · 2011-1-2 00:32:53

P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x=-a^2/c(c为椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB‖OP，试求椭圆的离心率e

千问 · 2011-1-2 00:32:53

由题易知，F、O、B、H各点的坐标分别为：F(c，0)，O(0，0)，B(o，b)，H(-a^2/c，0)。PF⊥OF ，则P点的横坐标为 c，将x=c代入椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1，得：y=b/a*根号(b^2-c^2)=b^2/a。（因为c^2=a^2-b^2，且P点位于第一象限）所以P点坐标为(c，b^2/a)，直线OP的斜率为：k1=b^2/ac，而直线HB的斜率为：k2=bc/a^2。HB//OP，则：k1=k2，即 b^2/ac=bc/a^2，所以 c=ab，故 e=c/a=b。