一道高中抛物线数学题，麻烦解答一下

显示全部楼层 · 2011-1-2 00:24:38

已知A, B 是抛物线y?2=2px（p>0)上两点，若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB 的方程是

千问 · 2011-1-2 00:24:38

有抛物线的对称性可知，A，B关于x轴对称，即设A（x0，y0）则B为（x0,-y0)焦点P坐标为（p/2,0）为△AOB的垂心则有OA垂直BP，OB垂直AP,设OA、OB、AP、BP、分别为向量，则有，OA点乘BP等于零，OB点乘AP等于零，OA=(x0,y0),BP=(p/2-x0,y0),OB=(x0,-y0),AP=(p/2-x0,-y0),y0^2=2px0所以x0=5/2，所以直线的方程为x=5/2

千问 · 2011-1-2 00:24:38

【参数法】解：焦点F(p/2,0).由题设及对称性，可设点A(2pt2,2pt),B(2pt2,-2pt).(m＞0).∵三角形的三条高交于一点，∴由题设可知，必有AF⊥OB.===>Kaf×Kob=-1.===>(-2pt/2pt2)×2pt/[2pt2-(p/2)]=-1.===>2t2-(1/2)=2.

千问 · 2011-1-2 00:24:38

直线是x=2.5p由于|OA|=|OB|，根据对称性，AB为数直直线，设A为（x，y）B(x-y），焦点（0.5p，0）三角形垂心在x轴上向量FA垂直于OB向量，F为焦点，列式子：（x-0.5p，y）*（x，-y）=0即x^2-0.5PX-y^2=0,和抛物线方程联立即可解得x ,这一步并不是很困难。

千问 · 2011-1-2 00:24:38

如图，c（p/2,0），由于点c是焦点，且是垂心，所以O点到AB的距离是OC的3倍。故AB：y=3px/2.

千问 · 2011-1-2 00:24:38

x=2.5p