已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F。求证：DP⊥EF

显示全部楼层 · 2011-1-3 14:12:21

拜托大家了，明天考试了。

千问 · 2011-1-3 14:12:21

证明:延长EP交BC于G,延长PD,交EF于H
∵PGCF是正方形
∴PG=PF
在Rt△PDG和Rt△PEF中
PE=EA=PG
PG=PF(已证)
∴Rt△PDG≌Rt△PEF
∴∠DPG=∠EFP
∵∠DPG=∠EPH(对顶角)
∴∠EPH=∠EFP
∵∠EFP+∠FEP=90° ∴∠EPH+∠FEP=90° ∴PD⊥EF

千问 · 2011-1-3 14:12:21

此题可以用向量的方法来证：以正方形的顶点B为坐标原点，AB所在直线为正Y轴，BC所在方向为正X轴，构造坐标系设点P（x,y）则E（0，y），F（x,0）D(1,1)假设正方形的边长为单位“1”点P在对角线AC上，满足直线AC的方程式：y=-x+1向量EF=（x,-y）向量PD=（1-x,1-y）向量EF*向量PD=x(1-