数学高手们来做这道高二的解析几何题在抛物线x^2=2py上有两点A（x1,y1)、B(x2,y2),|AB|=y1+y2+p，求证：A

显示全部楼层 · 2011-1-22 13:54:33

题目如下：在抛物线x^2=2py上有两点A（x1,y1)、B(x2,y2),|AB|=y1+y2+p，求证：A、B和抛物线的焦点共线。详细过程哦。

千问 · 2011-1-22 13:54:33

设焦点为F，则焦点坐标(0,p/2)，准线y=-p/2.则AF=AA',BF=BB'(抛物线第二定义）A'和B'分别是A,B在准线上的投影。AF=AA'=y1+p/2,BF=BB'=y2+p/2,则AF+BF=y1+y2+p。由AF+BF>=AB（当且仅当A,B,F在同一直线上成立）所以由AF+BF=AB=y1+y2+p知A,B,F在同一直线上，即A、B和抛物线的焦点共线。证毕希望能帮到你！

千问 · 2011-1-22 13:54:33

解：设焦点为F，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为G、H，很容易写出准线方程为x= -3/2，由抛物线第二定义有AF=AG=X1-(-3/2)= X1+(3/2)BF=BH=X2-(-3/2)= X2+(3/2)所以AB=AF+BF=[X1+(3/2)]+[X2+(3/2)]= X1+X2+3=4+3=7

千问 · 2011-1-22 13:54:33

证明：由已知 x^2=2py 得焦点坐标F（0，p/2) ，准线y=-p/2 A,B点纵坐标y1,y2>0,由抛物线定义知 |AF|=y1+p/2
|BF|=y2+p/2所以|AF|+|BF| =y1+y2+p/2+p/2=y1+y2+p而题目已知|AB|=y1+y2+p
所以|AB|=y1+y2+p=|AF|+

千问 · 2011-1-22 13:54:33

【参数法】证明：∵点A,B均在抛物线x2=2py上，∴可设A(2pa,2pa2),B(2pb,2pb2).(a≠b).易知，点A,B到准线y=-p/2的距离分别为2pa2+(p/2).和2pb2+(p/2).由题设可知，|AB|=2pa2+2pb2+p.又由抛物线定义可知，|AF|=2pa