莫利定理怎么证明

千问 · 2011-9-8 04:43:10

证法一：在△ABR中，由正弦定理，得AR=csinβ/sin(αβ)。不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以AR=（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=2sinβsinγ（√3cosγsinγ）=4sinβsinγsin（60°γ）.同理,AQ=4sinβsinγsin(60°β)在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2=16sin^2βsin^2γ[sin^2(60γ)sin^2(60°β)-2sin(60°γ)*sin（60°β）cosα]=16sin^2αsin^2βsin^2γ.这是一个关于α，β，γ的对称式，同理可得PQ^2，PR^2有相同的对称性，故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形。证法二：∵AE：AC=sinγ：sin（aγ），AF：AB=sinβ：sin（aβ），AB：AC=sin3γ：sin3β，∴AE:AF=（ACsin（aγ）/sinγ）：（ABsin（aβ）/sinβ），而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°γ)sin(60°-γ)）：（sinβsin(60°β)sin(60°-β)），∴AE：AF=sin(60°γ)：sin(60°β)，∴在△AEF中，∠AEF=60°γ，同理∠CED=60°a，∴∠DEF=60°，∴△DEF为正三角形。