初中数学几何题i 四边形ABCD中，AB不等于CD,AD和BC不平行，E、F分别为AD和BC的中点。求证EF小于1/2(AB CD)

千问 · 2011-9-11 09:41:50

证明：以N为旋转中心，将四边形ABCD旋转180°，得到四边形A\'B\'C\'D\'，因为N为BC中点，所以B\'与C重合，C\'与B重合。设中心对称后的M点为M\'，易得线段MN旋转180°后的线段M\'N与MN共线，即M，N，M\'三点共线连接AD\'，则在四边形AMM\'D\'中，AM=M\'D\'且AM平行于M\'D\'，所以四边形AMM\'D\'为平行四边形，AD\'=MM\'显然，MN=(1/2)(ABCD)，上述等号当且仅当AB平行于CD时成立。

千问 · 2011-9-11 09:41:50

先做图,然后知道AE平行于CF所以角EAO=OCF因为EF垂直于AC,所以角EOA=COF=90度又因为O是AC的中点,所以AO=CO所以三角形AEO全等于三角形COF所以AE=CFEO=FO因为EO=FOAO=CO角EOC=AOF所以三角形ECO全等于三角形AOF所以EC=AF角ECO=角OAF所以EC平行于AD所以四边形AECF为平行四边形因为EO=FOCO=CO角EOC=角FOC所以三角形EOC全等于三角形COF所以EC=CF所以EC=CF=AE=AF又因为四边形AECF为平行四边形所以四边形AECF为菱形

千问 · 2011-9-11 09:41:50

连接BD，取BD中点为O，连接EO，FO因为AB不等于CD，AD不平行于BC所以EOF为三角形，EFEOFO三角形的第三边小于其他两边和推出因为EO=AB/2，FO=CD/2三角形的中位线为底边的一半所以EFAB/2CD/2因此EF(ABCD)/2

千问 · 2011-9-11 09:41:50

顶沙发

千问 · 2011-9-11 09:41:50

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千问 · 2011-9-11 09:41:50

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千问 · 2011-9-11 09:41:50

我同学做出来了。。做AD的中点，则中位线定理，1/2（CD-AB）即为EM-FM这显然小于EF(两边之和大于第三边)如果C和D的位置交换，思想也是一样，做BC的中点

千问 · 2011-9-11 09:41:50

因为：AB平行CD,AD平行BC所以：ABCD是平行四边形所以：BD是ABCD的平分线。。即三角形ABD和三角形BCD全等又因为：AE和CF分别是三角行ABD和BND底边上的高所以：AE=CF谢谢

千问 · 2011-9-11 09:41:50

AB=CD,AD=BC,所以是平行四边形AF=CE,所以DF=BE,根据角边角(AD//BC可以得到2组角相等的,加上对顶角,就都相等了),三角形DFO和三角形BEO全等所以DO=BO