求幂级数和函数

显示全部楼层 · 2010-7-10 14:43:43

求幂级数∑(n=1,∞)(x*n)/n的和函数,我想问下S'(x)=∑(n=1,∞)x*n又等于1/(1-x),怎么来的1/(1-x)

千问 · 2010-7-10 14:43:43

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……上式可由等比数列求各项和（前n项和当n趋向于无穷大时的极限）得到，即1+x+x^2+x^3+……+x^n=[1-x^(n+1)]/(1-x） lim（1+x+x^2+x^3+……+x^n）=lim[1-x^(n+1)]/(1-x）=1/(1-x）逐项积分可得到 ∫1/(1-x)=x+(x^2)/2+(x^3)/3+(x^4)/4+……=∑(n=1,∞)(x*n)/n=-ln|1-x|和函数是-ln|1-x|

千问 · 2010-7-10 14:43:43

利用等比级数求和公式得到的，等比级数在公比绝对值小于1时，和等于首项除以（1-公比），这里公比等于x,首项是1，你的S'(x)=∑(n=1,∞)x*n是错的，应该写为S'(x)=∑(n=1,∞)x*（n-1）或者S'(x)=∑(n=0,∞)x*n，

千问 · 2010-7-10 14:43:43

你把1/(1-x)在x=0点展开看看就知道了

千问 · 2010-7-10 14:43:43

S'(x)=∑(n=1,∞)x^(n-1)=1/(1-x)无穷等比数列求和s=a1/(1-q)