线性代数问题

显示全部楼层 · 2010-6-23 17:55:38

1.如果A是n阶正交阵则，下列不成立的是
A.A^-1=A^TB.A的行向量都是单位向量且两两正交
C.A的行向量都是单位向量且两两正交
2.设n阶矩阵A满足A^2=A,且r(A)=r,求|2E-A|?
3.设a0是非其次方程组AX＝b的一个解，a1,a2...ar是AX＝0的基础解系，则a0,a1..ar,线性相关还是无关?
请详细解答!多谢

千问 · 2010-6-23 17:55:38

1,A是正交矩阵，则A'A=E所以A^-1=A'A是正确的将A'A=E按矩阵乘法写出来就是∑a(ki)a(kj)= 1(i=j)或0(i≠j)（前面式子是对k求和）所以行向量都是单位向量且两两正交由A'A=E可以得到AA'=E展开就得到列向量也都是单位向量且两两正交所以估计错误的选项应该是D了2，应该是r(A)=n吧？若r(A)=n，则|A|≠0由A^2=A可得|A|^2=|A|所以|A|=1所以|2E-A|=|2E-A||A|=|2A-A^2|=|2A=A|=|A|=13，设k0a0+k1a1+……+krar=0两边同时作用A由Aa0=b，Aai=0，i=1,……,r可得k0

千问 · 2010-6-23 17:55:38

楼上第二题错了。不会做也不能改题吧....A^2=A所以A有特征值1和0，且易证其相似于对角阵diag(1,1,1,...0,0,0).因为r(A)=r，所以有r个1，n-r个0，则2E-A有r个特征值2-1=1和n-r个特征值2-0=2，所以|2E-A|=(1^r)*(2^(n-r))=2^(n-r).如果r=n,像楼上说的那样，带回上式得到1.