极限运算法则和无穷小代换的问题

显示全部楼层 · 2019-1-15 06:46:45

题目：limx->0 (sinx^2/x^2)/[(1-cosx)/(x^2)+(sin/x)]=1/0.5+1=4/3
做法：分子和分母分别用等价无穷小带入sin~x,1-cosx~x^2/2
分析：不过这明显违背了加减的时候不能用无穷小代换的原则

唯一可以解释的就是用到了极限4则运算，把上式看成是3个独利的

极限再分别带入无穷小化简
疑惑：不知道我这么想是否正确，望高人指点。回答好的可以加分哦~
结果应该是2/3
笔误

千问 · 2019-1-15 06:46:45

等价无穷小的代换求极限实质上是一种非等价代换，即它不是完全相同的两个函数的代换，虽然名字叫等价无穷小代换，但不具有真正的等价换元，所以在等价无穷小的代换中使用起来非常谨慎！对于类似lim(a+b）/c这种类型，①的观点是正确的，一般认为在因式中（连乘）可以使用无穷小代换，但有加减法的算式中绝对不行，在（加减法）拆项后使用等价无穷小代换是禁止的，这种代换是非等价的，切忌！因为你代换后逆算，它是回不去的！②③④是极限的运算法则，只要a,b,a+b和a/cb/c(a+b)/c的极限存在，式子就是成立的⑤的代换是完全错误的，它是在加减法拆项后的代换，本身也没有可逆性！如何防止这种非等价换元的错误呢？1、一般情况下要严格遵守因

千问 · 2019-1-15 06:46:45

加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。举一个例子让你明白：求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x

千问 · 2019-1-15 06:46:45

正确的。①极限存在是用其他方法证明得到的，如limsinx/x=1,最初的证明是用面积公式；lim（1+1/n）^n=e用的是夹逼原理。②极限运算成立的证明时用到了：每一个因式的极限都要存在. 所以这是极限运算成立的充分条件。这道题每个因式的极限都存在（用①中的证明）。以上两步足以说明做法的正确③而等价无穷小只是定义，为了更简洁的说

千问 · 2019-1-15 06:46:45

我想了一下，他这样做的原因可能是他已经明确分子分母的极限都存在且不为0与无穷。那么按照极限的运算法则可以分子分母各自极限后相除分子的情况就确定了。对于分母求极限时，也比较明显知道两项的极限存在且不为0与无穷那么同理，运用极限的四则运算，也变成各自极限的和。我这样写，想必你能明白吧？不过这只是对于极限能确定的情况才适用。若一个极限分子分