函数问题。

显示全部楼层 · 2010-7-9 23:57:00

f(x)+2f(1/x)=3x(x大于0)，求f（x）

参考书上说要把x代换成1/x，并且得到了一个方程：2f(x)+f(1/x)=3/x
我想知道是如何得到这个方程的，如何代换呢？
另外有个回答：当t=1/x的时候
F(1/t)+2F(t)=3/t,用x替换t
得出 F(1/x)+2F(x)=3/x
再根据条件 F(x)+2F(1/x)=3x
但这个回答中，t=1/x，而后x又代换了t，那么这里的1/x和x中的x的意义是否不相同，如何解释呢？
我的想法是：根据已知f(x)+f(1/x)=3x，把它作为广义的函数，可以得到当自变量为1/x时，f(1/x)+2f(x)=3/x，这是狭义的。而此时把已知Ff(x)+f(1/x)=3x作为狭义的一个方程，与f(1/x)+2f(x)=3/x组成方程组。而解出的答案是狭义的，但可以推广，也就成了广义的函数，也和原题目求f（x）相符。
向大家请教，谢谢。我初中刚毕业，有些问题还不太理解，麻烦大家了！
是不是关键在于 (x大于0) 使得这两个函数是同一个~~？就不存在广义狭义的问题了？

千问 · 2010-7-9 23:57:00

对于如何代换的问题嘛……以此题为例，直接把x统一换成1/x即可，除自变量外，其它的部分照抄。x＞0是为了使x用其倒数1/x替换以后，括号内的东西“1/x”仍在原函数的定义域内，避免f(1/x)与f(x)的定义域产生矛盾。这都是出题者想好了的，出题者的设问都是很特殊的情形，他可不希望自己出个有争议的题目让学生做。我不讨论函数广不广义的。f(x)是个函数，f只是个对应关系，括号是习惯加上去的写法。f可以写出表达式，也可以不写出，甚至不需要有确定的表达式。比如f(鸡)=鸭，说的就是“鸡”在情况f的影响下成为了“鸭”，也可以说“鸡”通过对应关系f联系上了“鸭”。一般的说来，f(原因)=结果，f就是其中的过程。f(x)=y是说某对应关系f使x变成

千问 · 2010-7-9 23:57:00

函数方程给出的是自变量与因变量之间的关系，不管变量用什么东西表示，关系是核心是不变的。纠结于字母的话是会混淆的。f(x)+2f(1/x)=3x这个式子反映出自变量和它倒数之间的关系;用t表示1/x（x的倒数），得f(1/t)+2f(t)=3/t，这个是变量代换过程，是由t=1/x这个等式和原方程联立得出来的一个新的表达式，实质上还是反映了自变量和它倒

千问 · 2010-7-9 23:57:00

参考书上说要把x代换成1/x，并且得到了一个方程：2f(x)+f(1/x)=3/x我想知道是如何得到这个方程的，如何代换呢？答：就是把x换成1/x 原式：f(x)+2f(1/x)=3x
→f(1/x)+2f(1/1/x)=3/x = 2f(x)+f(1/x)=3/x【因为f(1/1/x)=f(x)】而后x又代换了t，

千问 · 2010-7-9 23:57:00

在这里无论是x或者是t都是一个未知数，它们是等同的，比如f(t)=3t和f(x)=3x是同一个函数（定义域相同），只是用不同的字母表示，这个函数可以这样理解：一个数的函数等于这个数乘以3。也可以认为f后面括号里面的一个字母或者一个式子都可以看成是一个数，一个未知数，比如f(3x+1)=5,这里3x+5可以看成一个数，假设把这个数看成另一个未知数t即3x+1=

千问 · 2010-7-9 23:57:00

根据上面的一段话，你理解的基本都对了。但是上面说第二个方程是狭义的，并不是一定正确的。原因是题目中已经规定x>0.而实际上，做变换1/x,这个整体仍然是>0,没有发生本质的变化。因此解出来的答案并不需要推广的，只要定义在x>0上就可以了。