设三角形ABC的周长为定值，求三角形的内切圆面积的最大值，并说明这时三角形ABC是怎样的三角形。

显示全部楼层 · 2010-7-4 21:31:05

解：设△ABC，其中AB=c，AC=b，BC=a，a+b+c=2p(定值)。△ABC的内切圆圆心0是三条角平分线的交点，S△ABO=rc/2，S△ACO=rb/2，S△BCO=ra/2，S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=r(a+b+c)/2=rp；根据海伦公式，S2△ABC=p(p-a)(p-b)(p-c)，所以有r2p2=p(p-a)(p-b)(p-c)，r2=(p-a)(p-b)(p-c)/p。∵(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-2p=p(定值)；可以证明三个数和一定的时候，只有当它们分别相等的时候积最大。也就是说当r取最大值的时候存在p-a=p-b=p-c，即a=b=c=2p/3，此时△ABC是等边三角形：r2m

千问 · 2010-7-4 21:31:05

最大面积：s*s/27 此时为正三角形; 当几个正数和一定时要使积最大，当且仅当几个数相等