求证向量 (a×b)·c=(b×c)·a

显示全部楼层 · 2010-7-14 09:34:18

千问 · 2010-7-14 09:34:18

a=(a1,a2,a3);b=(b1,b2,b3);c=(c1,c2,c3)a×b=| i j k|
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1) 所以：(a×b)·c=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)·(c1,c2,c3)
=a2b3c1-b2a3c1+a3b1c2-a1b3c2+a1b2c3-a2b1c3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1同理，(b×c)·a=b2c3a1-c2b3a1+b3c

千问 · 2010-7-14 09:34:18

这个等式不是恒成立的。(a×b)与(b×c)数量积是不带方向的。而后面乘的 c、a是有方向的。如果c和a的方向不同，等式就不会成立。结合律在向量里是不能用的。 1楼的回答中：“（a×b)·c = [（x1，y1）(x2,y2)](x3,y3)
=(x1x2,y1y2)(x3,y3)
=(x1x2x3,y1y

千问 · 2010-7-14 09:34:18

把三个向量的坐标设出来比如a =（a1,a2,a3）b = (b1,b2,b3)c = (c1,c2,c3)通过向量的坐标运算(axb).c=c1a2b3-c1a3b2+c2a1b3-c2a3b1+a1b2c3-a2b1c3然后求出(bxc).a然后看他们的记过是相等如果还有什么问题 q我914340587 上

千问 · 2010-7-14 09:34:18

用坐标证明最简单：a＝（a1,a2,a3）.b＝（b1,b2,b3）,c＝（c1,c2,c3）从混合积坐标计算公式：（a×b）·c＝行列式|a1a2a3||b1b2b3||c1c2c3|＝[行列式性质。行对换两次]＝|b1b2b3||c1c2c3||a1a2a3|＝（

千问 · 2010-7-14 09:34:18

设a = （x1，y1）b = （x2，y2）c = （x3，y3）(a×b)·c = [（x1，y1）(x2,y2)](x3,y3)
=(x1x2 + y1y2)(x3,y3)
=((x1x2+ y1y2)x3,(x1x2 +y1y2)y3)同理(b×c)·a = (（x2x3 + y2y3)x1