求极限 lim (x->0) (1 + 1/x)^x = ?

显示全部楼层 · 2011-2-10 13:47:43

顺便求 lim (x->无穷) (1 + 1/x)^x = ?
取自然对数：
lim ln (1 + 1/x)^x = limx ln (1 + 1/x) = lim ln(1 + 1/x) / (1/x)
换元法，令 a = 1/x;
原式等于 lim ln (1+a) / a ;
由洛比塔（L'Hospital）法则:
lim (ln(1+a))' / (a)' = lim 1/ (1+ a)
当a ->0时，值为1，当a->无穷时，值为0
也就是当x->无穷时，值为1，当x->0时，值为0；
所以当x->无穷时，值为e^1 = e, 当x->0时，值为e^0 =1;
所以该问题第一问答案是1，第二问的答案是e.
不给分了，全错了。

千问 · 2011-2-10 13:47:43

解答：1、这个式子是无法证明的，这是e的定义式，也是最重要的两个极限之一；2、文明能够证明的只是：一方面递增；另一方面有界，所以定义为e；3、e可以由连分式产生，可以数列(级数)产生，也可以由上式在取极限过程中产生；4、2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 。。。。。。。。

千问 · 2011-2-10 13:47:43

趋于无穷的时候是e，趋于0的时候是1/e吧？都用夹逼准则

千问 · 2011-2-10 13:47:43

两边取对数；把X写在分母上，再用洛必达法则，即可得