已知函数f(x)=a/2x^2-Inx,已知a>1/e,求证:f(x)没有零点

显示全部楼层 · 2011-2-11 12:13:53

证明：f(x)=(a/2)x^2-lnx,x>0.求导得f'(x)=ax-1/x=(ax^2-1)/x,x>0得唯一驻点xo=1/a^0.5,当0xo,f'(x)>0,f(x)单增，故极小值f(x)=f(xo),且此极小值必为其最小值，得minf(x)=f(xo)=1/2+1/2lna=(1/2)(1+lna)>(1/2)[1+ln(1/e)]=0,(其中a>1/e).即当a>1/e,f(x)的最小值恒大于零，也就是说f(x)=0,(x>0)不可能有解，亦即f(x)没有零点，命题得证。

千问 · 2011-2-11 12:13:53

（1）确定定义域（2）求导，确定各区间单调性（3）根据各区间单调性求出函数最小值（4）最小值大于零则可知无零点（连续函数）