不相等的两个正整数的和、积、差、商之和是一个整数的完全平方数，称这样的两个数位“智慧数”。

显示全部楼层 · 2010-7-25 00:02:02

若这两个数均不超过100,求这样的“智慧数”有多少组？

千问 · 2010-7-25 00:02:02

令B = XA （X>1的整数）A + B + B - A + A*B + B/A= 2XA + XA2 + X= Y^2则有Y^2 = X(A+1)^2推得X必是一完全平方数。即B是A的某完全平方数倍。100以内1以上的完全平方数共9个：4、9、16、25、36、49、64、81、100B是A的100、81、64倍的分别有1组：（1，100）、（1、81）、（1、64）B是A的49倍的有[100/49]=2组：（1，49）、（2，98）36倍的有[100/36]=2组25倍的有[100/25]=4组16倍的有[100/16]=6组9倍的有[100/9]=11组4倍的有[100/4]=25

千问 · 2010-7-25 00:02:02

设这两个数分别是a 和b，则由已知条件ab+a+b+a-b+a/b=ab+2a+a/b=s*s因为ab+2a+a/b等于一个整数s的平方，所以a/b必然是一个整数，从而可以推测出a是b的整数倍，不妨设a=kb带入最开始的式子变形后可以得到 s*s=kbb+2kb+k=k(bb+2b+1)=k(b+1)(b+1) 上式左边是

千问 · 2010-7-25 00:02:02

53组