已知：a>0,b>0,c>0,且不全相等，若abc=1，求证：

显示全部楼层 · 2010-7-20 09:51:46

求证：1/a + 1/b + 1/c > 根号a+根号b+根号c

千问 · 2010-7-20 09:51:46

因为abc=1，所以ab=1/c,ac=1/b,bc=1/a1/a + 1/b + 1/c =bc+ac+ab=(1/2)[(ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc)]≥(1/2)[2a(根号bc)+2b(根号ac)+2c根号(ab)]=a根号(1/a)+b根号（1/b）+c根号(1/c)= 根号a+根号b+根号c因为等号只有在ab=ac=bc时才成立而a,b,c不全相等，所以不能取等号所以1/a + 1/b + 1/c > 根号a+根号b+根号c

千问 · 2010-7-20 09:51:46

已知：a>0,b>0,c>0,且不全相等，abc=1，所以有：1/a + 1/b + 1/c= bc + ca + ab= (1/2)(ca+ab) + (1/2)(ab+bc) + (1/2)(bc+ca)＞ √(a2bc) + √(ab2c) + √(abc2)= √a + √b + √c