一道数学题

显示全部楼层 · 2010-7-20 19:56:18

已知函数f（x），g（x）在R上有定义，对任意得x,y∈R有f（x—y）=f（x）g(y)—g(x)f(y)恒成立，且f(1)≠0.
⑴求证：f（x）为奇函数；
⑵若f（1）=f(2),求g(1)+g(-1)的值

千问 · 2010-7-20 19:56:18

因为f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y) 所以f（x）为奇函数（2）令x=-1，y=1，带入得
f（-2）=f（-1）g（1）-g（-1）f（1）
因为 f（x）是奇函数所以有
-f（2）=-f（1）g（1）-g（-1）f（1）
化简得f（2）=f（1）g（1）+g（-1）f（1）又因为 f（1）=f(2)
所以f（1）=f（1）g（1）+g（-1）f（1）所以g(1)+g(-1)=1

千问 · 2010-7-20 19:56:18

注：关于自变量对称性需要说明，否则可能扣分；