高中导数：已知函数f(x)=ax-b/x-2lnx，f(1)=0

显示全部楼层 · 2011-2-17 01:57:54

(1)若函数图像在x=1处的切线斜率是0，且A(n+1)=f`{1/[A(n)-n+1]}-n^2+1，已知A(1)=4，求证：A(n)不小于2n+2
(2)在(1)的条件下，比较Sum （从1到n）1/[1+A(i)]
与0.4大小关系

千问 · 2011-2-17 01:57:54

f(1)=0 => a-b=0 =>a=b(1) f'(x)=a+b/x^2-2/x f'(1)=k=0 =>a+b-2=0 =>a=b=1
=>f(x)=1-1/x-2lnxf'(x)=1+1/x^2-2/x=(1-1/x)^2
A(n+1)=f'(1/(A(n)-n+1))-n^2+1=(A(n)-n)^2-n^2+1
=A(n)^2-2nA(n)+1用数学归纳法证明 A(n)>=2n+2(1)A(1)=4>=2*2+2 成立(2)假设当n=k时，
A(k)>=2k+2 则 n=k+1时A(k+1)=(A(k)-k)^2-k^2+1由 A(

千问 · 2011-2-17 01:57:54

由f(1)=0 得a=b(1) f'(x)=a+b/x^2-2/x 由f'(1)=0 得a+b-2=0 =>a=b=1
∴f(x)=1-1/x-2lnx； f'(x)=1+1/x^2-2/x=(1-1/x)^2
A(n+1)=f'(1/(A(n)-n+1))-n2+1=(A(n)-n)2-n2