已知函数f(x)=根号下x-1/x,求证（1）f（x）在其定义域上为增函数；（2）满足等式f（x）=1的实数的值至多只

显示全部楼层 · 2011-2-22 06:56:53

（1）f(x)=√[(x-1)/x]可以看做y=√u,u=(x-1)/x=1-1/x的复合函数，其定义域由(x-1)/x>=0确定，为x>=1,或x=1时,或x=1时,或xf(2)=1/2,f（x）在其定义域上不是增函数。（2）f(x)=1,∴(x-1)/x=1,x-1=x,-1=0,无解。[注]若f(x)=√(x-1/x),则f(x)=1,x-1/x=1,x^2-x-1=0,x=(1土√5）/2.f（x）在其定义域上也不是增函数。

千问 · 2011-2-22 06:56:53

(1)在(0,+∞)上任取实数x1,x2,且有x1>x2,则有:f(x1)-f(x2)=√x1-(1/x1)-√x2+(1/x2)=(√x1-√x2)+[(x1-x2)/x1x2]故有:x1>x2>0,√x1>√x2>0f(x1)-f(x2)=(√x1-√x2)+[(x1-x2)/x1x2]>0故函数f(x)在定义域上为增函数,得证(2)

千问 · 2011-2-22 06:56:53

f'=0.5（1+1/x^2)/(x-1/x)^0.5>0,f递增，所以f(x)=1至多有一根