y=(cosx)^3+(sinx)^2-cosx的最大值

显示全部楼层 · 2011-2-18 22:50:37

28/27 32/27 4/340/27

千问 · 2011-2-18 22:50:37

解：可设t=cosx.则原式可化为y=(cosx)^3+1-(cosx)^2-cosx=t^3+1-t^2-t=(t+1)*(t-1)^2.===>y/4=(t+1)*[(t-1)/2]^2.易知，2=（1+t)+(1-t)=(1+t)+[(1-t)/2]+[(1-t)/2]≥3*[(1+t)*(1-t)/2*(1-t)/2]^(1/3)=3*(y/4)^(1/3).====>y≤32/27.等号仅当t=1/3时取得。故ymax=y(cosx=1/3)=32/27.

千问 · 2011-2-18 22:50:37

y=(cosx)^3+(sinx)^2-cosx=(cosx)^3+1-(cosx)^2-cosx然后用z=cosx，-1≤z≤1代换得：y=(cosx)^3+1-(cosx)^2-cosx=z^3-z^2-z+1，-1≤z≤1.令y'=3z^2-2z-1=(3z+1)(z-1)=0，z1=-1/3，z2=1.现在只需求得y在z分别等于-1，