不等式问题!

显示全部楼层 · 2010-7-29 20:51:31

已知a>0,b>0,试比较a^3+b^3与a^2*b+a*b^2的大小

千问 · 2010-7-29 20:51:31

回答：a^a*b^b>=a^b*b^a证明如下：因为a>0,b>0,所以a^a>0,b^b>0,a^b>0,b^a>0所以a^a*b^b>0,a^b*b^a>0 (a^a*b^b)/(a^b*b^a)=(a^a/a^b)*(b^b/b^a)=(a^a/a^b)/(b^a/b^b)=a^(a-b)/b^(a-b)=(a/b)^(a-b)当a>b>0时，a/b>1,a-b>0此时，由指数函数的性质可知 (a/b)^(a-b)>1即(a^a*b^b)/(a^b*b^a)>1所以a^a*b^b>a^b*b^a当b>a>0时，a/b1

千问 · 2010-7-29 20:51:31

前者大于等于后者，因为:(a^3+b^3)-(a^2*b+a*b^2)=a^2*(a-b)-b^2*(a-b)=(a^2-b^2)(a-b)=(a-b)(a+b)(a-b)=(a-b)^2*(a+b)>=0 (当且仅当a=b时等号成立）

千问 · 2010-7-29 20:51:31

a^3+b^3-a^2*b-a*b^2=a^2*(a-b)+b^2*(b-a)=(a-b)*(a^2-b^2)=(a-b)*(a-b)*(a+b)=(a-b)^2*(a+b)因a>0,b>0 a+b >0
(a-b)^2>=0所以a^3+b^3>=a^2*b+a*b^2

千问 · 2010-7-29 20:51:31

解：(a^3+b^3)-a^2b+ab^2=(a+b)(a^2+b^2-ab)-(a+b)ab=(a+b)(a^2-2ab+b^2)=(a+b)(a-b)^2≥0故a^3+b^3≥a^2b+ab^2

千问 · 2010-7-29 20:51:31

a^3+b^3>a^2*b+a*b^2