高中数学

显示全部楼层 · 2010-8-4 20:28:13

已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f（5/2）的值是————
请给出正确答案并说明理由，谢谢

千问 · 2010-8-4 20:28:13

解法一：令X=-0.5，则有-0.5f(-0.5+1)=(1-0.5)f(-0.5),即f(0.5)=-f(-0.5).因为函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，所以有f(0.5)=f(-0.5)。由以是两个式子可得f(0.5)=0.令X=0.5,则有0.5f(0.5+1)=(1+0.5)f(0.5),所以f(1.5)=0再令X=1.5，则有1.5f(1.5+1)=(1+1.5)f(1.5)，所以得f(2.5)=0.解法二：同解法一得出f(0.5)=0。由题知xf(x+1)=(1+x)f(x),所以f(x+1)/（x+1）=f(x)/x，因此可知相差距离为一的两点的斜率相等。故有f(x+1)=f(x)。所以f(x)是以周期为1的偶函数。即

千问 · 2010-8-4 20:28:13

解：∵ 函数f(x)是实数集R的偶函数
∴f(x）=f（-x）又对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)
令x=-0.5，-0.5f(-0.5+1)=0.5f(-0.5)，
即-f(0.5)=f(-0.5)，结合偶函数性质得 f(0.5)=0；
令x=0.5，解得 f(1.5）=0；

千问 · 2010-8-4 20:28:13

xf(x+1)=(1+x)f(x)把x=-1/2代入，可得：-0.5f(0.5)=1.5f(-0.5)又∵f(x)为偶函数，∴f(0.5)=f(-0.5）∴f(0.5)=0然后就按xf(x+1)=(1+x)f(x) 一步步推上去f（5/2）=0对吧？

千问 · 2010-8-4 20:28:13

-1/2f(-1/2+1)=(1-1/2)f(-1/2)-1/2f(1/2)=1/2f(-1/2)-f(1/2)=f(-1/2)-f(1/2)-f(-1/2)=0-2f(1/2)=0因为f(x)偶函数所以f(1/2)=f(-1/2)=01/2f(3/2)=3/2f(1/2)f(3/2)=03/2f(5/2)=5/2f(3/