0<x<1,0<y<1,0<z<1,怎样求x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1,

显示全部楼层 · 2010-8-3 14:10:22

0<x<1,0<y<1,0<z<1,怎样求x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1,求多种解法

千问 · 2010-8-3 14:10:22

很简单~~先将x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)看成关于x的一次函数F（x），由一次函数的线性性质，只需证明F(0)<1,F(1)<1,注意此时y,z都是看做常数的。F（0）=y(1-z)+z,再将F（0）看做关于y的一次函数G（y），注意，此时z看做常数。G（0）=z<1,G（1）=1，这就证明了F（0）<1了。同理证明F（1）<1这样就证明了命题了~~当然楼上那位用偏导数也是能做的~~我想出这个题的人要考察的就是关于一次函数的知识吧。

千问 · 2010-8-3 14:10:22

这道题有两种做法，这是第15届全俄数学奥林匹克试题，最经典的是构造法，证一：构造一个边长为1的正三角形ABC，在AB上取点D,AC上E,BC上去点F，使AD=1-z,DB=z,BF=1-x,FC=x,CE=1-y,AE=y 我们知道ΔADE、ΔBDF、ΔCEF这三个三角形面积之和要小于整个三角形的面积，即： AD·AEsin(π/3)/2

千问 · 2010-8-3 14:10:22

令不等式左边≡u 是关于三个变量x,y,z的函数当其取极值时必有对x,y,z的偏导数为0分别做偏导就有1-x-y=01-y-z=01-x-z=0解得唯一解x=y=z=1/2,此时u=3/4<1由于是唯一的解，必然该极值在定义域内为最值代x=y=z=1/3,得u=2/3<3/4做对比得到上述所求的点是函数的最大值故有u≤3/

千问 · 2010-8-3 14:10:22

感觉有点难