证明数列√2,√(2 √2),√(2 √(2 √2)),-----收敛，并求其极限

千问 · 2011-10-15 12:56:32

显而易见，这个数列是递增然后再用数学归纳法证明这个数列是有上界的因为有a1=√22,ak=√(2ak-1)2从而可证an2因为an是单调有界数列，所以极限存在设极限为A有A=√(2A)解出A=2

千问 · 2011-10-15 12:56:32

令x=√(2√(2√2)),-----＞0∴x=2√(2√2)),-----=2x∴x-x-2=0∴x=2或x=-1（舍）∴数列√2,√(2√2),√(2√(2√2)),-----收敛，其极限为2

千问 · 2011-10-15 12:56:32

易证这个是递增数列，且都2所以是递增有界数列，所以收敛设极限为a则√(2a)=a所以a=2即极限为2