已知平面α经过点A(-3,5,1),B(2,1,4),且垂直于法向量为n=(1,-2,3)的另一平面

显示全部楼层 · 2011-3-4 23:35:55

已知平面α经过点A(-3,5,1),B(2,1,4),且垂直于法向量为n=(1,-2,3)的另一平面，则平面α的一个法向量为______?
求过程和答案谢谢~~

千问 · 2011-3-4 23:35:55

平面α就是下面求解过程中的F2。如图，设A、B所在平面为F2，平面F1法向量为n，由题意知F2垂直于F1，则F2平行于向量n，也就是说n垂直于F2的所有法向量。连接AB两点，形成向量AB＝（5，-4，3），AB在平面F2内，则AB垂直于F2的所有法向量。设F2的任一法向量m=(x,y,z)；由上面分析知：m垂直于n和AB，即m*n＝0m*AB＝0分别将数值代入上式，化简得：4x－2y＝0令x=1,则y=2, 代入前面式子得：z=1；至此得到了平面F2的一个法向量m=(1,2,1)。

千问 · 2011-3-4 23:35:55

设平面的α的法向量为η′=（x，y，z）由题意得，AB向量与η′垂直，η′与η垂直。AB向量=（5,-4,3）AB向量×η′=5x-4y+3z=0η′×η=x-2y+3z=0有上式可知y=2xx=z向量η′=（x,2x,x）任取 x=1则η′=（1,2,1）

千问 · 2011-3-4 23:35:55

向量AB=(5,-4,3)依题意，平面α的法向量与向量AB，法向量为n=(1,-2,3)垂直，所以平面α的法向量可为：(-4*3-(-2)*3, 3*1-3*5, 5*(-2)-1*(-4) )=(-6, -12, -6)。这类题其实很简单，套公式而已。但要知道行列式的计算，由于行列式打不出来，所以直接写出了计算。