数学-因式分解

显示全部楼层 · 2010-8-5 21:11:16

若a是自然数，则a^4-3a^2+9是质数还是合数？
详细过程，拜托

千问 · 2010-8-5 21:11:16

原式=(a^4+6a2+9)-9a2=(a2+3)2-(3a)2=(a2+3a+3)(a2-3a+3)若a2+3a+3=1则a=-1,a=-2,不是自然数若a2-3a+3=1则a=1,a=2a=1，a^4-3a2+9=7a=2，a^4-3a2+9=13所以a=1或2，a^4-3a2+9a是1和2以外的自然数，a^4-3a2+9是合数

千问 · 2010-8-5 21:11:16

原式=（a^2-3）^2
=（根号a-根号三）^2×（根号a+根号三）^2所以：当a=3时，原式=0,既不是合数也不是质数
当a不等于3时，是合数（因为当a不等于3时，根号a-根号三和根号a+根号三肯定不相等）

千问 · 2010-8-5 21:11:16

因为a^4-3a^2+9=(a^2-3/2)^2+27/4可令27/4=b^2,(a^2-3/2)^2=c^2则原式=b^2+c^2，不可因式分解所以不可能有两个或以上的数字相乘得到a^4-3a^2+9，所以是质数，得证