菱形和平行四边形

显示全部楼层 · 2010-8-6 11:45:02

过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证，四边形EFGH是菱形

千问 · 2010-8-6 11:45:02

证明：因为四边形ABCD为平行四边形
所以AO=CO，AB//CD
所以∠BAC=∠DCA
所以在三角形EAO与三角形GCO中∠BAC=∠DCA，∠AEO=∠CGO，AO=CO
所以三角形EAO与三角形GCO全等(AAS)
所以EO=GO
同理：HO=FO
所以四边形EFGH为平行四边形，
又因为EG垂直于HF
所以四边形EFGH为菱形

千问 · 2010-8-6 11:45:02

由于菱形的对角线平分一组对角而又有一对直角且有一条公共边所以可证全等所以可证一对内错角相等且一组对应边相等所以平行四边形EFGH可得菱形EFGH