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数学分析上有证明。两者等价，都是实数系基本定理。不用柯西原理和其他定理，直接证法如下。定理 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。证明：任意实数x可以表示为x=[x]+(x)，整数部分+非负小数部分。我们将(x)表示成无限小数形式：(x)=0.a1 a2 a3 ... an ...,其中a1,a2,...,an,...中的每一个数字都是0,1,...,9中的一个，若(x)是有限小数，则在后面接上无限个0。这称为实数的十进制无效小数表示。注意0.123000...=0.122999... 为了保持表示的唯一性，约定类似情况统一表示成前者。这样，任意实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示:{a0+ |
